Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître ou justifier l'indépendance de deux événements · utiliser l'indépendance pour calculer la probabilité d'une intersection · représenter par un arbre la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, avec n au plus égal à 4 · calculer une probabilité dans une telle répétition.
C'est ici que commence vraiment le programme de première en probabilités. Les arbres pondérés du chapitre précédent ne changent pas ; ce qui change, c'est la question qu'on leur pose : les deux événements se répondent-ils, ou bien l'un est-il sans effet sur l'autre ?
Sur 500 personnes interrogées, 63,8 % sont allées chez le dentiste cette année ; mais parmi les femmes, elles sont 69,1 %. Savoir que la personne est une femme CHANGE donc la probabilité : les deux caractères ne sont pas sans lien. Quand au contraire l'information ne change rien, on dit que les événements sont indépendants.
Soient A et B deux événements de probabilités non nulles. A et B sont INDÉPENDANTS lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire lorsque p_B(A) = p(A).
Cette condition s'écrit de trois façons ÉQUIVALENTES : p_B(A) = p(A), ou p_A(B) = p(B), ou encore p(A ∩ B) = p(A) × p(B). C'est cette dernière, la plus symétrique, qu'on utilise le plus souvent pour vérifier une indépendance.
Sur 400 élèves, 240 sont demi-pensionnaires et 100 pratiquent un sport en club, dont 60 demi-pensionnaires.
p(D) = 240/400 = 0,6 · p(S) = 100/400 = 0,25 · p(D ∩ S) = 60/400 = 0,15.
Or 0,6 × 0,25 = 0,15 : l'égalité est vérifiée, D et S sont indépendants. On le voit autrement : 25 % des demi-pensionnaires font du sport, comme 25 % des externes.
Contre-exemple : deux événements qui ne sont PAS indépendants.
Sur cet arbre, p_M(C) = 0,79 alors que p_M̄(C) = 0,21. Les deux sous-arbres du second niveau sont différents : savoir que le poisson est un mâle change beaucoup la probabilité qu'il soit coloré.
Autre contre-exemple à ne pas confondre : deux événements INCOMPATIBLES, qui ne peuvent pas se produire ensemble, vérifient p(A ∩ B) = 0. Ils sont au contraire fortement liés, puisque la réalisation de l'un interdit celle de l'autre.
Méthode — étudier l'indépendance de deux événements.
1) Je calcule p(A), p(B) et p(A ∩ B), en général à partir d'un tableau d'effectifs.
2) Je calcule le produit p(A) × p(B).
3) Je compare : s'il est égal à p(A ∩ B), les événements sont indépendants ; sinon ils ne le sont pas.
4) Je conclus par une phrase disant ce que cela signifie dans la situation étudiée.
A et B indépendants ⟺ p_B(A) = p(A) ⟺ p_A(B) = p(B) ⟺ p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Sur un arbre : les deux sous-arbres du second niveau sont identiques.
Indépendants ≠ incompatibles.
Question 1 — p(A) = 0,3, p(B) = 0,5 et p(A ∩ B) = 0,2. A et B sont-ils indépendants ?
Question 2 — Sur un arbre, p_A(B) = 0,4 et p_Ā(B) = 0,4. Que peut-on dire ?
Question 3 — Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont-ils indépendants ?
L'intérêt de l'indépendance est pratique : elle transforme un calcul de probabilité en une simple multiplication, sans avoir besoin de connaître le moindre effectif.
Lorsque A et B sont indépendants, p(A ∩ B) = p(A) × p(B). Les événements contraires le sont alors aussi : Ā et B̄ sont indépendants, et p(Ā ∩ B̄) = p(Ā) × p(B̄).
Sur un arbre, l'indépendance se voit immédiatement : les deux sous-arbres du second niveau portent les mêmes probabilités.
Sur l'arbre ci-dessus, p(C₁) = 0,63 et p(C₂) = 0,42, quelle que soit la réponse à la première question.
p(C₁ ∩ C₂) = 0,63 × 0,42 ≈ 0,265 : la personne répond correctement aux deux questions dans environ 26,5 % des cas.
p(C̄₁ ∩ C̄₂) = 0,37 × 0,58 ≈ 0,215 : elle se trompe aux deux dans environ 21,5 % des cas.
Contre-exemple : multiplier alors qu'on n'a pas le droit.
Dans l'aquarium, p(M) = 0,64 et p(C) ≈ 0,581. Le produit vaut environ 0,372.
Mais le vrai calcul donne p(M ∩ C) = 0,64 × 0,79 ≈ 0,506. Multiplier les probabilités sans avoir vérifié l'indépendance conduit ici à une erreur de plus de 25 %.
Méthode — « au moins un » se calcule par le contraire.
1) Je repère que « au moins un succès » est le contraire de « aucun succès ».
2) Je calcule p(aucun succès) en multipliant les probabilités d'échec, ce qui ne demande qu'un seul chemin.
3) Je retranche à 1.
Exemple : une pièce défectueuse avec probabilité 0,04 et une autre avec 0,05, indépendamment. Aucun défaut : 0,96 × 0,95 = 0,912 ; au moins un défaut : 1 − 0,912 = 0,088.
Indépendants → p(A ∩ B) = p(A) × p(B), et de même pour les contraires.
p(au moins un) = 1 − p(aucun).
Vérifier l'indépendance AVANT de multiplier.
Question 1 — E et F sont indépendants, p(E) = 0,25 et p(F) = 0,48. Que vaut p(E ∩ F) ?
Question 2 — Deux composants tombent en panne indépendamment, avec une probabilité 0,1 chacun. Quelle est la probabilité qu'aucun ne tombe en panne ?
Question 3 — Dans la situation précédente, quelle est la probabilité qu'au moins un tombe en panne ?
Lancer trois fois un dé et compter les Six, tirer quatre fois une boule en la remettant à chaque fois, tenter quatre tirs au but : à chaque fois, on refait la MÊME expérience, dans les mêmes conditions, sans que les tentatives s'influencent. L'arbre devient alors parfaitement régulier.
Une ÉPREUVE DE BERNOULLI est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues : le SUCCÈS, de probabilité p, et l'ÉCHEC, de probabilité 1 − p.
RÉPÉTER n épreuves identiques et indépendantes, c'est refaire n fois la même épreuve de Bernoulli, chaque répétition se déroulant dans les mêmes conditions et sans influence sur les autres.
L'arbre correspondant comporte n niveaux et 2^n chemins. Toutes les branches d'un même rang portent la même probabilité : p pour un succès, 1 − p pour un échec.
Trois lancers d'un dé, succès = obtenir Six, donc p = 1/6.
L'arbre a 3 niveaux et 2³ = 8 chemins.
Chemin « trois succès » : (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/216.
Chemin « aucun succès » : (5/6)³ = 125/216, donc « au moins un Six » vaut 1 − 125/216 = 91/216.
Contre-exemple : un tirage SANS remise.
Dans une urne de 25 boules dont 5 vertes, tirer une verte a pour probabilité 5/25 = 1/5. Si on la remet, le second tirage a la même probabilité : les épreuves sont identiques et indépendantes.
Si on ne la remet PAS, l'urne ne contient plus que 24 boules dont 4 vertes : la probabilité devient 4/24 = 1/6. Les épreuves ne sont plus ni identiques ni indépendantes, et l'arbre régulier ne s'applique plus.
Méthode — calculer une probabilité sur une répétition d'épreuves.
1) Je vérifie que l'épreuve est bien la MÊME à chaque fois et que les répétitions sont indépendantes.
2) Je trace l'arbre, avec p sur toutes les branches de succès.
3) Pour un événement précis, je repère TOUS les chemins qui le réalisent.
4) Je multiplie le long de chaque chemin, puis j'additionne les chemins retenus.
Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès de probabilité p.
n répétitions identiques et indépendantes → arbre régulier à 2^n chemins.
On multiplie le long d'un chemin, on additionne entre les chemins favorables.
Question 1 — Combien de chemins compte l'arbre d'une répétition de 4 épreuves à deux issues ?
Question 2 — On lance 3 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux piles ?
Question 3 — Deux tirages SANS remise dans une urne forment-ils une répétition d'épreuves identiques et indépendantes ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?