Nuage de points et ajustement affine : 12 exercices corrigés de 1re

On veut construire le nuage de points croisant deux caractères d'une série statistique. Voici quatre affirmations sur la construction d'un nuage : indique si chacune est vraie ou fausse.

Méthode : Méthode du cours : « choisir un caractère pour l'abscisse et un pour l'ordonnée, puis observer les valeurs pour déterminer une échelle pertinente sur chaque axe ». Demande-toi ce que signifierait un segment tracé entre deux mesures.

Un fichier donne, pour 100 élèves de Première, le temps quotidien passé sur les réseaux sociaux et le temps consacré au travail scolaire. Le nuage obtenu descend nettement : les élèves qui passent le plus de temps sur les réseaux sont aussi ceux qui travaillent le moins.
a. Comment décrit-on la forme d'un tel nuage en une phrase ?
b. Peut-on en conclure que les réseaux sociaux font baisser le temps de travail scolaire ? Justifie.

Méthode : La description d'un nuage se limite à ce qu'on voit : le sens, l'alignement plus ou moins net, les points éloignés du reste. La question b. porte sur la différence entre lien et cause — un piège classique de l'analyse de l'information chiffrée.

On reprend les mesures de saturation de l'hémoglobine.

Pression en O₂ (kPa) | 2 | 5 | 6 | 7 | 8
Saturation (%) | 10 | 40 | 60 | 80 | 90

a. Quelle est la moyenne des pressions, en kPa ?
b. Quelle est la moyenne des saturations, en pourcentage ?
c. Quelles sont les coordonnées du point moyen G de ce nuage ?

Méthode : Méthode du cours « Point cours » : le point moyen G a pour abscisse la MOYENNE DES ABSCISSES et pour ordonnée la MOYENNE DES ORDONNÉES. On calcule donc deux moyennes séparément, chacune sur les cinq valeurs de sa ligne.

Un nuage est composé des quatre points A(2 ; 7), B(4 ; 3), C(6 ; 11) et D(8 ; 3).
a. Quelle est l'abscisse du point moyen G ?
b. Quelle est son ordonnée ?
c. Le point moyen appartient-il nécessairement au nuage ?

Méthode : Méthode du cours : x_G = (2 + 4 + 6 + 8) ÷ 4 et y_G = (7 + 3 + 11 + 3) ÷ 4. Compare ensuite le couple obtenu à la liste des quatre points de départ.

On reprend les données sur le tabac.

Prix du paquet (€) | 5 | 5,13 | 5,65 | 6,70 | 7
Paquets vendus (Mds) | 2,75 | 2,75 | 2,74 | 2,38 | 2,25

a. Quelle est l'abscisse du point moyen G ? Arrondis au centième.
b. Quelle est son ordonnée ? Arrondis au centième.
c. Dans un tableur, les prix occupent la plage B2:F2. Quelle formule donne l'abscisse du point moyen ?

Méthode : La somme des prix vaut 29,48 et celle des ventes 12,87 ; il y a cinq mesures. Le tableur calcule une moyenne avec la fonction MOYENNE, appliquée à la plage de la ligne concernée.

On reprend les neuf essais de freinage : les vitesses, en km/h, sont 10, 30, 50, 70, 90, 120, 150, 180 et 210, et les distances d'arrêt correspondantes, en mètres, 4, 11, 22, 40, 56, 105, 130, 197 et 325.
a. Quelle est l'abscisse du point moyen G ? Arrondis au dixième.
b. Quelle est son ordonnée ? Arrondis au dixième.
c. La distance d'arrêt mesurée à la vitesse la plus proche de l'abscisse de G est de 105 m, pour 120 km/h. Compare-la à l'ordonnée de G et explique l'écart.

Méthode : La somme des vitesses vaut 910 et celle des distances 890, pour neuf essais. Pour la question c., souviens-toi qu'une moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Toujours avec la droite d'ajustement d d'équation y = 20x − 60 du nuage de saturation.
a. Quelle valeur la droite prévoit-elle pour une pression de 6 kPa ?
b. Quelle est la saturation réellement mesurée à 6 kPa ?
c. Quelle valeur la droite prévoit-elle pour une pression de 8 kPa ?

Méthode : Pour obtenir la valeur prévue, on remplace x par la pression dans l'équation de la droite. Compare ensuite avec le point du nuage : un bon ajustement donne des valeurs proches des valeurs mesurées, sans être forcément égales.

Une droite d'ajustement d'un nuage passe par les points P(4 ; 25) et Q(12 ; 65).
a. Quel est son coefficient directeur ?
b. Quelle est son ordonnée à l'origine ?
c. Quelle valeur cette droite prévoit-elle pour x = 20 ?

Méthode : Le coefficient directeur vaut (65 − 25) ÷ (12 − 4). Une fois a connu, remplace x et y par les coordonnées de P dans y = ax + b pour trouver b, puis remplace x par 20 dans l'équation obtenue.

La ville de Montargis comptait 14 616 habitants en 2011 et 14 976 en 2019. On modélise l'évolution de sa population par une fonction affine du temps, en posant x le nombre d'années écoulées depuis 2011.
a. De combien d'habitants la population a-t-elle augmenté en huit ans ?
b. Quel est le coefficient directeur de la droite d'ajustement, en habitants par an ?
c. Quelle est l'équation réduite de cette droite ?

Méthode : Le coefficient directeur d'une droite qui modélise une évolution est l'augmentation PAR UNITÉ de la variable, ici par an : 360 ÷ 8. L'ordonnée à l'origine correspond à x = 0, c'est-à-dire à l'année 2011.

La droite d'ajustement du nuage de saturation a pour équation y = 20x − 60, où x est la pression en kPa et y la saturation en pourcentage. Les mesures ont été faites entre 2 et 8 kPa.
a. Quelle saturation la droite prévoit-elle pour une pression de 6,5 kPa ?
b. Cette prévision est-elle une interpolation ou une extrapolation ?
c. Quelle saturation la droite prévoit-elle pour une pression de 9 kPa ?

Méthode : Méthode du cours : on remplace x par la valeur voulue dans l'équation de la droite. INTERPOLER, c'est estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données ; EXTRAPOLER, c'est l'estimer en dehors.

La population de Montargis est modélisée par la droite d'équation y = 45x + 14 616, où x est le nombre d'années écoulées depuis 2011 et y la population.
a. Quelle population le modèle prévoit-il pour 2015 ?
b. Quelle population prévoit-il pour 2030 ?
c. Laquelle des deux estimations est une extrapolation ?

Méthode : Attention à la variable : x compte les ANNÉES ÉCOULÉES depuis 2011, donc 2015 correspond à x = 4 et non à x = 2015. Une interpolation reste dans la plage des données observées, une extrapolation en sort.

On reprend les essais de freinage. Un élève propose d'ajuster le nuage par la droite passant par (10 ; 4) et (90 ; 56).
a. Quel est le coefficient directeur de cette droite ? Arrondis au centième.
b. Quelle distance d'arrêt cette droite prévoit-elle pour 210 km/h ? Arrondis au mètre.
c. La distance réellement mesurée à 210 km/h est de 325 m. Que penses-tu de la prévision ?

Méthode : Le coefficient vaut (56 − 4) ÷ (90 − 10). L'équation de la droite s'obtient ensuite avec l'un des deux points. Pour c., calcule l'écart entre la prévision et la mesure, et relie-le à la forme du nuage que tu as observée.