Probabilités conditionnelles et arbres pondérés : 14 exercices corrigés de 1re

Voici les effectifs des élèves des filières technologiques d'un lycée.

Filière | Garçons | Filles | Total
STMG | 32 | 37 | 69
STI2D | 28 | 3 | 31
ST2S | 5 | 29 | 34
Total | 65 | 69 | 134

Donne les résultats en pourcentage arrondi à l'unité.
a. Quelle est la fréquence des élèves de STMG dans l'ensemble du lycée ?
b. Parmi les élèves de STMG, quelle est la fréquence de garçons ?
c. Parmi les élèves de ST2S, quelle est la fréquence de filles ?

Méthode : Méthode du cours « Fréquences conditionnelles et marginales » : la question a. porte sur la population TOTALE, c'est une fréquence MARGINALE, donc on divise par 134. Les questions b. et c. commencent par « parmi » : la référence se réduit à une ligne, ce sont des fréquences CONDITIONNELLES.

Le secteur de la boulangerie compte 132 000 personnes, dont un quart de chefs d'entreprise. La répartition par sexe, en pourcentage de chaque catégorie, est la suivante.

Catégorie | Hommes (%) | Femmes (%)
Chef d'entreprise | 67 | 33
Salarié | 44 | 56

a. Combien y a-t-il de chefs d'entreprise ?
b. Combien de femmes parmi eux ?
c. Quelle est la fréquence de femmes dans l'ensemble du secteur ? Donne le pourcentage arrondi à 0,1 %.

Méthode : Les pourcentages du tableau sont CONDITIONNELS : 33 % est la part des femmes parmi les chefs d'entreprise, pas dans tout le secteur. Calcule d'abord les effectifs de chaque catégorie, puis les effectifs de femmes, avant d'additionner et de diviser par 132 000.

Voici la répartition des campings d'un groupe touristique.

Type | Mer | Campagne | Total
Avec animations | 114 | 16 | 130
Sans animations | 30 | 40 | 70
Total | 144 | 56 | 200

a. Quelle est la fréquence marginale des campings à la mer ? Donne le pourcentage.
b. Parmi les campings à la mer, quelle est la fréquence de ceux qui proposent des animations ? Arrondis à 0,1 %.
c. Parmi les campings avec animations, quelle est la fréquence de ceux situés à la mer ? Arrondis à 0,1 %.

Méthode : Les questions b. et c. portent sur les MÊMES 114 campings, mais n'ont pas le même dénominateur : 144 campings à la mer pour b., 130 campings avec animations pour c. C'est exactement la différence entre les deux conditionnements — l'ordre des mots change tout.

Soit C et D deux événements de probabilités non nulles, tels que p(C) = 0,45 et p(C ∩ D) = 0,2.
a. Calcule p_C(D). Arrondis à 0,01.
Soit E et F deux événements tels que p(F) = 0,2 et p_F(E) = 0,45.
b. Calcule p(F ∩ E).

Méthode : Méthode du cours : la probabilité de D sachant C est p_C(D) = p(C ∩ D) ÷ p(C). La même formule, lue dans l'autre sens, donne p(F ∩ E) = p(F) × p_F(E). C'est la même égalité, réarrangée.

Lors d'une soirée, on a compté les danseurs selon leur danse préférée et leur appartenance à l'association organisatrice.

Statut | Salsa | Bachata | Kizomba | Total
Adhérents | 27 | 32 | 54 | 113
Non adhérents | 75 | 42 | 14 | 131
Total | 102 | 74 | 68 | 244

On interroge un danseur au hasard. Arrondis au centième.
a. Quelle est la probabilité qu'il préfère la salsa ?
b. Quelle est la probabilité qu'il soit adhérent ET qu'il préfère la bachata ?
c. Sachant que c'est un adhérent, quelle est la probabilité qu'il préfère la kizomba ?

Méthode : La question b. porte sur une INTERSECTION : les deux conditions à la fois, sur l'ensemble des 244 danseurs. La question c. est une probabilité CONDITIONNELLE : « sachant que » réduit la référence aux 113 adhérents. Le numérateur est le même dans les deux cas, seul le dénominateur change.

Dans un club d'athlétisme, chaque adhérent choisit une spécialité.

Catégorie | Course | Saut | Total
Cadet | 89 | 23 | 112
Junior | 151 | 78 | 229
Total | 240 | 101 | 341

On choisit un adhérent au hasard. On note J l'événement « l'adhérent est un junior » et S l'événement « sa spécialité est le saut ». Arrondis au millième.
a. Calcule p(J ∪ S).
b. Sachant que l'adhérent fait de la course, quelle est la probabilité que ce soit un junior ?
c. Calcule p_J̄(S), c'est-à-dire la probabilité qu'un adhérent fasse du saut sachant qu'il n'est pas junior.

Méthode : Pour a., attention à ne pas compter deux fois les juniors qui font du saut : p(J ∪ S) = p(J) + p(S) − p(J ∩ S). Pour c., « pas junior » désigne les cadets : la référence est la ligne des 112 cadets.

A et B sont deux événements associés à une expérience aléatoire. On sait que p(A) = 0,3, p_A(B) = 0,6 et p_Ā(B) = 0,25.
a. Que vaut p(Ā) ?
b. Que vaut p_A(B̄) ?
c. Calcule p(A ∩ B).

Méthode : Méthode du cours : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1. C'est vrai au premier niveau, p(A) + p(Ā) = 1, comme au second, p_A(B) + p_A(B̄) = 1. La probabilité d'un chemin est ensuite le produit de ses branches.

Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la leucose féline. Un test de dépistage est proposé : lorsque le chat est porteur, le test est positif dans 90 % des cas ; lorsqu'il n'est pas porteur, le test est négatif dans 85 % des cas. On note M l'événement « le chat est porteur » et T l'événement « le test est positif ».
a. Écris p(M) sous forme décimale.
b. Écris p_M(T) sous forme décimale.
c. Écris p_M̄(T) sous forme décimale.
d. Calcule p(M ∩ T).

Méthode : Attention à la question c. : l'énoncé donne la probabilité que le test soit NÉGATIF chez un chat sain, soit 0,85. On cherche la probabilité qu'il soit POSITIF chez un chat sain : c'est l'événement contraire, sur le même nœud de l'arbre. Un test positif chez un chat sain s'appelle un faux positif.

On reprend l'arbre des événements C et D, avec p(C) = 0,25, p_C(D) = 0,4 et p_C̄(D) = 0,12.
a. Calcule p(C ∩ D).
b. Calcule p(C̄ ∩ D).
c. Déduis-en p(D).

Méthode : Méthode du cours : pour calculer la probabilité d'un événement situé au SECOND niveau, on repère TOUS les chemins qui y mènent — ici deux, celui qui passe par C et celui qui passe par C̄ — et on ADDITIONNE leurs probabilités.

On reprend la situation de l'assurance : p(A) = 0,25, p_A(O) = 0,15 et p_Ā(O) = 0,45.
a. Quelle est la probabilité qu'un client pris au hasard ait pris l'option ?
b. Exprime ce résultat en pourcentage.
c. Sachant que le client a pris l'option, quelle est la probabilité qu'il soit assuré au tiers ? Arrondis au centième.

Méthode : Pour a., additionne les probabilités des deux chemins menant à O. La question c. renverse le conditionnement : on cherche p_O(A), qui vaut p(A ∩ O) ÷ p(O). Le numérateur a déjà été calculé, le dénominateur est la réponse à la question a.

On reprend le dépistage de la leucose féline : p(M) = 0,4, p_M(T) = 0,9 et p_M̄(T) = 0,15.
a. Calcule p(T), la probabilité qu'un chat pris au hasard ait un test positif.
b. Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que le chat soit réellement porteur ? Donne une valeur décimale.
c. Compare p_M(T) et p_M̄(T) au résultat de la question b. et explique ce que cela signifie pour le vétérinaire.

Méthode : Deux chemins mènent à T : celui des chats porteurs correctement détectés, et celui des chats sains dont le test est faussement positif. Pour b., utilise p_T(M) = p(M ∩ T) ÷ p(T). Compare bien ce que signifient p_M(T) et p_T(M) : ce ne sont pas les mêmes questions.

Face à une situation de probabilité portant sur deux événements, on peut choisir un tableau croisé d'effectifs ou un arbre pondéré. Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse.

Méthode : Méthode du cours « Choisir le bon schéma » : je regarde si je connais des EFFECTIFS ou des PROPORTIONS. Si je ne connais pas les effectifs, je choisis l'arbre ; sinon je choisis le tableau.

Lors d'une course à voile, 132 skippers prennent le départ : un quart en solo, les autres en équipe. Les multicoques représentent les deux tiers des voiliers, les autres sont des monocoques. Seuls 5 skippers en solo sont en multicoque.
a. Combien de skippers courent en solo ?
b. Combien de voiliers sont des multicoques ?
c. Combien de skippers en équipe courent en monocoque ?

Méthode : Les effectifs sont connus : construis un tableau croisé solo/équipe × multicoque/monocoque. Remplis d'abord les marges — 33 et 99 d'un côté, 88 et 44 de l'autre — puis la case donnée, 5, et complète le reste par soustractions.

Une urne contient 49 boules numérotées de 1 à 49, de couleur jaune ou bleue. La moitié des boules paires sont bleues, et les deux cinquièmes des boules impaires sont jaunes. On tire une boule au hasard. Donne les résultats sous forme de fraction irréductible.
a. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit jaune ?
b. Quelle est la probabilité qu'elle soit impaire et bleue ?
c. La boule tirée est jaune : quelle est la probabilité qu'elle soit paire ?

Méthode : Les effectifs sont calculables : il y a 24 boules paires et 25 impaires. Un tableau croisé est donc plus commode qu'un arbre. La moitié de 24 fait 12 boules paires bleues, donc 12 paires jaunes ; les deux cinquièmes de 25 font 10 impaires jaunes, donc 15 impaires bleues.