Automatismes : évolutions, calcul et lectures graphiques : 15 exercices corrigés de 1re

Une subvention était de 3 000 € en 2022 et a augmenté de 15 % en 2023.
a. Quel est le coefficient multiplicateur associé à cette hausse ?
b. De combien est la subvention en 2023 ?

Méthode : Méthode du cours « Appliquer un taux d'évolution » : une hausse de t % correspond au coefficient multiplicateur 1 + t/100, ici 1 + 15/100 = 1,15. On multiplie ensuite la valeur de départ par ce coefficient : 3 000 × 1,15.

La population active au Japon est passée de 64 millions de personnes en 2015 à 66,6 millions en 2018.
a. Quelle est la variation absolue, en millions de personnes ?
b. Quel est le taux d'évolution, en pourcentage arrondi à 0,1 % ?

Méthode : La variation absolue est la différence valeur d'arrivée − valeur de départ : 66,6 − 64. Le taux d'évolution est cette variation RAPPORTÉE à la valeur de départ : (66,6 − 64) ÷ 64, que l'on convertit ensuite en pourcentage en multipliant par 100.

6 élèves d'une classe de Première ont choisi l'option mathématiques, ce qui représente 18,75 % des élèves de la classe.
a. Combien la classe compte-t-elle d'élèves ?
b. Combien d'élèves n'ont pas choisi cette option ?

Méthode : Ici on connaît la valeur d'ARRIVÉE (6 élèves) et le coefficient (0,1875), et on cherche la valeur de départ : il faut donc DIVISER, 6 ÷ 0,1875. Vérifie ensuite ton résultat : 18,75 % de ce que tu trouves doit bien redonner 6.

Un prix subit une hausse de 5 % suivie d'une baisse de 2 %.
a. Quel est le coefficient multiplicateur global ?
b. Quel est le taux d'évolution global, en pourcentage ?

Méthode : Méthode du cours « Calculer un taux d'évolution global » : on calcule un coefficient multiplicateur par évolution (1,05 puis 0,98), on les MULTIPLIE, puis on retranche 1 au résultat pour retrouver le taux.

On considère une augmentation de 30 % suivie d'une baisse de 30 %. Le prix revient-il à sa valeur de départ ?

Méthode : Ne fais pas la somme des taux : +30 % puis −30 % ne donne pas 0 %. Calcule les deux coefficients multiplicateurs et multiplie-les.

Le temps d'attente moyen en caisse dans un supermarché a baissé de 50 %. Quel taux d'évolution faudrait-il lui appliquer pour qu'il reprenne sa valeur de départ ?

Méthode : Une baisse de 50 % divise par 2 : pour revenir au point de départ, il faut multiplier par 2. Exprime ce coefficient 2 sous forme de taux d'évolution.

Développe et réduis les expressions suivantes.
a. A(x) = (4x + 5)²
b. B(x) = (2x − 6)(2x + 6)
c. C(x) = −3(x − 1)²

Méthode : Méthode du cours « Développer » : reconnais l'identité remarquable. (a + b)² = a² + 2ab + b² pour A, (a − b)(a + b) = a² − b² pour B, et (a − b)² = a² − 2ab + b² pour C — sans oublier de multiplier les TROIS termes par −3.

Résous dans ℝ les équations suivantes.
a. 5x + 12 = −28
b. 1,5x + 4 = 2x − 5

Méthode : Méthode du cours « Résoudre une équation du premier degré » : regroupe les termes en x d'un côté du signe égal et les nombres de l'autre, en ajoutant ou retranchant la même quantité des deux côtés, puis divise par le coefficient de x.

Pour chaque équation, factorise d'abord le membre de gauche, puis résous dans ℝ.
a. x² − 7x = 0
b. 4x² − 49 = 0

Méthode : Une équation du second degré ne se résout pas ici avec une formule : on FACTORISE pour se ramener à une équation produit nul. Piège classique en a. : simplifier par x fait perdre la solution x = 0.

On considère C(x) = x² + 7 et D(x) = (8 − 7x)², définies sur ℝ. Ces deux expressions ne changent jamais de signe : dis si chaque affirmation est vraie ou fausse.

Méthode : Un carré n'est jamais négatif. Demande-toi, pour chaque expression, si elle peut valoir 0 : x² + 7 vaut au minimum 7, tandis que (8 − 7x)² vaut 0 quand 8 − 7x = 0.

On considère E(x) = (x − 0,25)(x + 9), définie sur ℝ.
a. Quelle est la plus petite des deux valeurs qui annulent E ?
b. Quelle est la plus grande ?
c. Calcule E(0).

Méthode : Chaque facteur du premier degré s'annule pour une valeur : x − 0,25 s'annule en 0,25 et x + 9 s'annule en −9. Pour E(0), remplace x par 0 dans les DEUX facteurs, puis multiplie : (0 − 0,25) × (0 + 9). Le résultat négatif confirme que E est négative entre ses deux racines.

Résous dans ℝ l'inéquation (x − 0,25)(x + 9) < 0. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Méthode : Passe par le tableau de signes du produit : deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif. Les bornes sont exclues, car l'inégalité est stricte.

Dans une salle de concert, on a relevé l'intensité sonore, en décibels, en fonction de la distance à la scène. Pour protéger son audition, il est conseillé de rester sous 80 dB. À quelle distance minimale de la scène est-il préférable de se placer ?

Méthode : Il s'agit d'un problème de SEUIL : repère l'ordonnée 80 sur l'axe vertical, puis l'abscisse du point où la courbe atteint cette hauteur. Comme la courbe descend, tout ce qui est à droite de cette abscisse convient.

Une droite d passe par les points A(1 ; 3) et B(4 ; 9).
a. Quel est son coefficient directeur ?
b. Quelle est son ordonnée à l'origine ?

Méthode : Méthode du cours « Coefficient directeur à partir de deux points » : on calcule (y_B − y_A) ÷ (x_B − x_A), soit (9 − 3) ÷ (4 − 1). Attention à garder le même ordre en haut et en bas. Une fois le coefficient connu, remplace x et y par les coordonnées de A dans y = ax + b pour trouver b.

La représentation graphique d'une fonction affine g est une droite qui passe par les points A(1 ; 10) et B(5 ; 30).
a. Quel est le coefficient directeur de cette droite ?
b. Combien vaut g(0) ?
c. Combien vaut g(8) ?

Méthode : Le coefficient directeur est le taux d'accroissement (30 − 10) ÷ (5 − 1). Écris ensuite g(x) = ax + b avec le coefficient trouvé, et détermine b en utilisant les coordonnées de A. Rappelle-toi que g(0) est exactement l'ordonnée à l'origine.