Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : appliquer et calculer un taux d'évolution · enchaîner deux évolutions et revenir en arrière · développer, factoriser et résoudre une équation produit nul · étudier le signe d'un produit de facteurs du premier degré · lire une image, un seuil et des variations sur un graphique · lire et tracer une droite et calculer son coefficient directeur.
Ce chapitre ne contient AUCUNE notion nouvelle : tout y a été vu en seconde. C'est ta boîte à outils de l'année — les quatre grands thèmes de première (statistiques, probabilités, croissance linéaire, croissance exponentielle) s'appuient dessus en permanence. Reviens-y chaque fois qu'un calcul te ralentit.
Une subvention de 3 000 € augmente de 15 %. Un pantalon à 30 € est soldé de 20 %. Dans les deux cas, on peut faire le calcul en deux temps — calculer la part, puis l'ajouter ou la retrancher — mais un seul nombre suffit à tout faire d'un coup : le COEFFICIENT MULTIPLICATEUR.
Une grandeur passe d'une valeur de départ V_D à une valeur d'arrivée V_A. La VARIATION ABSOLUE est la différence V_A − V_D ; elle s'exprime dans l'unité de la grandeur.
Le TAUX D'ÉVOLUTION (ou variation relative) est cette variation rapportée à la valeur de départ : t = (V_A − V_D) / V_D. C'est un nombre sans unité, que l'on exprime en pourcentage en le multipliant par 100.
Le COEFFICIENT MULTIPLICATEUR est le nombre par lequel on multiplie V_D pour obtenir V_A : CM = 1 + t. Une hausse de t % donne CM = 1 + t/100 ; une baisse de t % donne CM = 1 − t/100.
Une subvention passe de 3 000 € à 3 450 €.
Variation absolue : 3 450 − 3 000 = 450 €.
Taux d'évolution : 450 / 3 000 = 0,15, soit une hausse de 15 %.
Coefficient multiplicateur : 1 + 0,15 = 1,15, et on vérifie que 3 000 × 1,15 = 3 450 ✓.
Contre-exemple : une note passe de 8 à 10.
La variation absolue vaut 2 points — mais le taux d'évolution ne vaut PAS 2 %, ni 10 %. Il vaut 2/8 = 0,25, soit +25 %.
La variation absolue et le taux d'évolution répondent à deux questions différentes : « de combien ? » et « de combien de fois plus ? ».
Méthode — appliquer un taux d'évolution.
1) Je repère s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
2) Je calcule le coefficient multiplicateur : 1 + t/100 pour une hausse, 1 − t/100 pour une baisse.
3) Pour trouver la valeur d'arrivée, je MULTIPLIE la valeur de départ par ce coefficient ; pour retrouver la valeur de départ, je DIVISE la valeur d'arrivée par ce coefficient.
t = (V_A − V_D) / V_D, puis t × 100 pour l'écrire en pourcentage.
CM = 1 + t. Hausse de 15 % → 1,15 ; baisse de 20 % → 0,80.
V_A = V_D × CM, donc V_D = V_A ÷ CM.
Question 1 — Quel est le coefficient multiplicateur d'une baisse de 4 % ?
Question 2 — Une population passe de 250 à 190 habitants. Quel est le taux d'évolution ?
Question 3 — Après une hausse de 25 %, un prix vaut 40 €. Quel était le prix de départ ?
Un magasin affiche « −30 % », puis la semaine suivante « −20 % supplémentaires sur les prix déjà soldés ». Peut-il annoncer « −50 % au total » ? La réponse est non, et le coefficient multiplicateur explique pourquoi.
Lorsqu'une grandeur subit deux évolutions successives, de coefficients CM₁ puis CM₂, le COEFFICIENT MULTIPLICATEUR GLOBAL est leur PRODUIT : CM_global = CM₁ × CM₂. Le taux global s'en déduit par t_global = CM_global − 1.
L'ÉVOLUTION RÉCIPROQUE est celle qui ramène la grandeur à sa valeur de départ. Son coefficient est l'INVERSE du coefficient de l'évolution directe : CM_réciproque = 1 / CM.
Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 15 %.
CM₁ = 1,10 et CM₂ = 0,85, donc CM_global = 1,10 × 0,85 = 0,935.
0,935 − 1 = −0,065 : l'évolution globale est une baisse de 6,5 %.
Contre-exemple : une hausse de 30 % suivie d'une baisse de 30 %.
On serait tenté d'écrire +30 − 30 = 0 et de conclure que le prix revient à sa valeur de départ. C'est FAUX.
1,30 × 0,70 = 0,91 : le prix final ne vaut que 91 % du prix initial, soit une baisse de 9 %. La baisse s'applique à une valeur déjà augmentée, donc plus grande que la valeur de départ.
Méthode — revenir à la valeur de départ.
1) Je calcule le coefficient multiplicateur de l'évolution directe.
2) J'en prends l'inverse : c'est le coefficient réciproque.
3) Je retranche 1 et je convertis en pourcentage.
Exemple : après une hausse de 25 %, CM = 1,25 ; le réciproque est 1 ÷ 1,25 = 0,80, soit une baisse de 20 %.
CM_global = CM₁ × CM₂, puis t_global = CM_global − 1.
CM_réciproque = 1 / CM. +25 % ↔ −20 % · −50 % ↔ +100 %.
Question 1 — Une baisse de 30 % suivie d'une baisse de 20 % correspond à :
Question 2 — Quelle évolution ramène une grandeur qui a baissé de 50 % à sa valeur de départ ?
Question 3 — Un prix baisse de 30 % puis augmente de 20 %. Le coefficient global vaut :
Une même expression peut s'écrire de plusieurs façons. 4x² − 49 et (2x − 7)(2x + 7) désignent le même nombre pour toute valeur de x — mais seule la seconde écriture permet de résoudre l'équation 4x² − 49 = 0 en une ligne. Savoir passer d'une forme à l'autre, c'est choisir la bonne forme pour la question posée.
DÉVELOPPER, c'est transformer un produit en somme ; FACTORISER, c'est transformer une somme en produit. Les trois identités remarquables permettent de faire les deux : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b².
ÉQUATION PRODUIT NUL : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l'un de ses facteurs est nul. Résoudre A(x) × B(x) = 0 revient donc à résoudre A(x) = 0 puis B(x) = 0.
Développer : (4x + 5)² = (4x)² + 2 × 4x × 5 + 5² = 16x² + 40x + 25.
Factoriser : x² + 10x + 25 = x² + 2 × x × 5 + 5² = (x + 5)².
Résoudre : (x − 0,25)(x + 9) = 0 donne x − 0,25 = 0 ou x + 9 = 0, c'est-à-dire x = 0,25 ou x = −9.
Contre-exemple : (a + b)² n'est PAS égal à a² + b².
Avec a = 3 et b = 4 : (3 + 4)² = 49, alors que 3² + 4² = 25. Le double produit 2ab = 24 manque — et 25 + 24 = 49 ✓.
Un seul contre-exemple numérique suffit à montrer qu'une égalité est fausse.
Méthode — résoudre une équation du second degré sans formule.
1) Je ramène tout du même côté pour obtenir « … = 0 ».
2) Je FACTORISE le membre de gauche (facteur commun ou identité remarquable).
3) J'annule chaque facteur séparément.
Exemple : 4x² − 49 = 0 s'écrit (2x − 7)(2x + 7) = 0, d'où x = 3,5 ou x = −3,5.
(a + b)² = a² + 2ab + b² · (a − b)² = a² − 2ab + b² · (a + b)(a − b) = a² − b².
Un produit est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs est nul.
Pour résoudre au second degré : on factorise, on n'utilise pas de formule.
Question 1 — Quelle est la forme factorisée de x² − 36 ?
Question 2 — Quelles sont les solutions de (2x + 6)(x − 5) = 0 ?
Question 3 — Quelles sont les solutions de x² − 5x = 0 ?
Savoir pour quelles valeurs de x une expression est positive ou négative sert partout : pour dire quand un bénéfice devient positif, quand une température passe sous zéro, ou pour résoudre une inéquation. L'outil s'appelle le TABLEAU DE SIGNES.
Une expression du premier degré ax + b (avec a ≠ 0) s'annule pour x = −b/a. Elle est du SIGNE CONTRAIRE de a avant cette valeur, et du signe de a après.
Pour un PRODUIT de facteurs du premier degré, on dresse un tableau avec une ligne par facteur et une ligne pour le produit : le signe du produit s'obtient en appliquant la règle des signes colonne par colonne.
A(x) = 3x − 12 s'annule pour x = 4. Comme a = 3 est positif, A est négative sur ]−∞ ; 4[ et positive sur ]4 ; +∞[.
B(x) = −5x + 4 s'annule pour x = 0,8. Comme a = −5 est négatif, B est positive sur ]−∞ ; 0,8[ et négative sur ]0,8 ; +∞[.
E(x) = (x − 0,25)(x + 9) s'annule en −9 et en 0,25. Elle est positive sur ]−∞ ; −9[, négative sur ]−9 ; 0,25[ (les deux facteurs sont de signes contraires) et positive sur ]0,25 ; +∞[.
Contre-exemple : toutes les expressions ne changent pas de signe.
C(x) = x² + 7 est strictement positive pour tout réel x : un carré est toujours positif ou nul, et on lui ajoute 7. Elle ne s'annule jamais.
D(x) = (8 − 7x)² est positive ou nulle pour tout réel x, et s'annule seulement en x = 8/7. Son tableau de signes n'a donc qu'une seule ligne : « + 0 + ».
Méthode — dresser le tableau de signes d'un produit.
1) Je factorise si nécessaire, pour n'avoir que des facteurs du premier degré.
2) Je cherche la valeur qui annule chaque facteur et je les range dans l'ordre croissant en haut du tableau.
3) Je donne le signe de chaque facteur ligne par ligne.
4) Je multiplie les signes colonne par colonne pour obtenir la ligne du produit, et je lis la réponse à la question posée.
ax + b s'annule en −b/a : signe contraire de a avant, signe de a après.
Produit : une ligne par facteur, puis règle des signes colonne par colonne.
Un carré ne change jamais de signe : il est positif ou nul.
Question 1 — Sur quel intervalle l'expression −2x + 6 est-elle strictement positive ?
Question 2 — Quel est le signe de (x − 1)(x − 4) pour x = 2 ?
Question 3 — Combien de fois l'expression (5 − 2x)² change-t-elle de signe ?
Une courbe de température, un cours du pétrole, la vitesse d'un parachutiste : en première, l'essentiel de l'information chiffrée arrive sous forme de graphique. Le premier réflexe est toujours le même — regarder ce que représente chaque axe et ce que vaut une graduation.
Lire l'IMAGE d'un nombre a, c'est partir de l'abscisse a, monter jusqu'à la courbe et lire l'ordonnée : on obtient f(a).
Lire les ANTÉCÉDENTS d'un nombre k, c'est partir de l'ordonnée k, repérer TOUS les points de la courbe à cette hauteur et lire leurs abscisses : ce sont les solutions de l'équation f(x) = k.
Le MAXIMUM de f sur un intervalle est la plus grande ordonnée atteinte par la courbe ; le MINIMUM, la plus petite. Le TABLEAU DE VARIATIONS résume les portions où la courbe monte et celles où elle descend.
Sur la courbe ci-dessus : f(0) = 1, car le point d'abscisse 0 a pour ordonnée 1.
L'équation f(x) = 3 a pour solution x = 1 : c'est l'abscisse du seul point de la courbe d'ordonnée 3.
Le maximum de f sur [−2 ; 3] vaut 4, atteint pour x = 2. La courbe monte sur [−2 ; 2] puis descend sur [2 ; 3].
Contre-exemple : « le maximum de f est 2 » est faux.
2 est l'ABSCISSE où le maximum est atteint, pas le maximum. Le maximum est une ordonnée : il vaut 4. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente sur cette question.
Méthode — résoudre graphiquement un problème de seuil.
1) Je repère la valeur seuil k sur l'axe des ORDONNÉES.
2) Je trace mentalement la droite horizontale à cette hauteur.
3) Je lis les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
4) Pour f(x) < k, je garde les x où la courbe est SOUS cette droite ; pour f(x) > k, ceux où elle est au-dessus.
Image : de l'abscisse vers l'ordonnée. Antécédent : de l'ordonnée vers l'abscisse.
Maximum et minimum sont des ORDONNÉES ; on précise à part en quel x ils sont atteints.
Problème de seuil : on trace la droite horizontale y = k et on regarde où la courbe passe dessous ou dessus.
Question 1 — Sur la courbe de la section, combien vaut f(−1) ?
Question 2 — Résoudre f(x) = k, c'est chercher :
Question 3 — Une vitesse augmente de t = 0 à t = 4 s, reste constante jusqu'à t = 10 s. Pendant combien de temps est-elle constante ?
Un forfait à 4 € par mois plus 0,40 € par heure d'appel, une température qui baisse de 1,5 °C par minute : dès qu'une grandeur varie toujours de la même quantité, elle se représente par une DROITE. Deux nombres suffisent à la décrire entièrement.
Une droite non verticale a une ÉQUATION RÉDUITE de la forme y = ax + b. Le nombre a est le COEFFICIENT DIRECTEUR : c'est de combien y varie quand x augmente de 1. Le nombre b est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE : c'est l'ordonnée du point de la droite situé sur l'axe vertical.
Si la droite passe par deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) d'abscisses différentes, alors a = (y_B − y_A) / (x_B − x_A).
Le signe de a donne le sens de variation : si a > 0 la droite monte, si a < 0 elle descend, si a = 0 elle est horizontale.
Sur la figure : d₁ coupe l'axe vertical en −2, donc b = −2. Quand on avance de 1 vers la droite, on monte de 2 : a = 2. Son équation réduite est y = 2x − 2.
d₂ coupe l'axe vertical en 6 et descend de 1 quand on avance de 1 : son équation réduite est y = −x + 6.
Par le calcul, pour une droite passant par A(1 ; 3) et B(4 ; 9) : a = (9 − 3) / (4 − 1) = 2, puis 3 = 2 × 1 + b donne b = 1, d'où y = 2x + 1.
Contre-exemple : le coefficient directeur n'est pas la variation de y.
Entre A(1 ; 3) et B(4 ; 9), y augmente de 6 — mais a ne vaut pas 6. Il faut rapporter cette variation à celle de x, qui vaut 3 : a = 6/3 = 2. Le coefficient directeur est une variation POUR UNE UNITÉ d'abscisse.
Méthode — tracer une droite d'équation donnée.
1) Je choisis deux abscisses simples, par exemple 0 et 2.
2) Je calcule les ordonnées correspondantes avec l'équation.
3) Je place les deux points obtenus et je trace la droite qui passe par eux.
Exemple pour y = 2x − 4 : x = 0 donne y = −4, et x = 2 donne y = 0. On relie (0 ; −4) et (2 ; 0).
y = ax + b : a = coefficient directeur, b = ordonnée à l'origine = f(0).
a = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) pour deux points de la droite.
a > 0 : la droite monte · a < 0 : elle descend.
Question 1 — Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation y = −3x + 7 ?
Question 2 — Une droite passe par A(2 ; 1) et B(6 ; 9). Quel est son coefficient directeur ?
Question 3 — Le point C(3 ; 5) appartient-il à la droite d'équation y = 2x − 1 ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?