Fonctions exponentielles : 12 exercices corrigés de 1re

Soit f la fonction définie sur ℝ⁺ par f(x) = 4 × 2ˣ.
a. Calcule f(0).
b. Calcule f(3).
c. Détermine une valeur approchée de f(1,5) à 0,01 près.

Méthode : Méthode du cours : pour tout a > 0, a⁰ = 1, donc f(0) = 4 × 1. Quand l'exposant est entier, aˣ est une puissance ordinaire : 2³ = 8. Quand il est décimal, on utilise la touche « puissance » de la calculatrice.

Soit u la suite géométrique de raison 1,5 et de premier terme u(0) = 2, et soit f la fonction définie sur ℝ⁺ par f(x) = 2 × 1,5ˣ.
a. Calcule u(2).
b. Calcule f(2).
c. Détermine une valeur approchée de f(2,5) à 0,001 près.

Méthode : Méthode du cours : la fonction exponentielle PROLONGE la suite géométrique. Pour tout rang entier n, f(n) = u(n) : les deux coïncident. La fonction, elle, donne en plus une valeur pour les exposants non entiers, ce que la suite ne sait pas faire.

Un capital de 5 000 € est placé à 4 % d'intérêts composés par an. On note C(x) le capital, en euros, au bout de x années, avec C(x) = 5 000 × 1,04ˣ.
a. Quel est le capital au bout de 3 ans ? Arrondis au centime.
b. Quel est le capital au bout de 6 mois, c'est-à-dire pour x = 0,5 ? Arrondis au centime.
c. Pourquoi une suite géométrique ne permettrait-elle pas de répondre à la question b. ?

Méthode : Pour a., calcule 5 000 × 1,04³. Pour b., utilise la touche puissance de la calculatrice avec l'exposant 0,5. La question c. porte sur la différence fondamentale entre une suite et une fonction.

Simplifie les expressions suivantes en les écrivant sous la forme d'une seule puissance.
a. 2⁴ × 2^1,5
b. 3⁵ ÷ 3^3,5
c. (0,6^0,2)¹⁵

Méthode : Méthode du cours : les règles de calcul avec des exposants RÉELS sont exactement les mêmes qu'avec les puissances entières. aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ, aˣ ÷ aʸ = aˣ⁻ʸ et (aˣ)ʸ = aˣ×ʸ. Il faut d'abord reconnaître l'opération principale.

Écris les nombres suivants sous la forme aˣ, où a est un nombre entier.
a. 7^3,1 × 3^3,1
b. 6^4,6 ÷ 2^4,6
c. 0,8ˣ × 5ˣ

Méthode : Méthode du cours : quand deux puissances ont le MÊME EXPOSANT mais des bases différentes, on regroupe les bases : aˣ × bˣ = (a × b)ˣ et aˣ ÷ bˣ = (a ÷ b)ˣ. C'est l'inverse du réflexe habituel, où l'on regroupe les exposants.

Soient f et g les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par f(x) = 0,8ˣ et g(x) = 1,2ˣ. On pose h(x) = f(x) × g(x).
a. Détermine l'expression de h(x) sous la forme aˣ.
b. La fonction h est-elle croissante ou décroissante ?
c. Calcule h(3). Arrondis au millième.

Méthode : Les deux fonctions ont le même exposant : on regroupe donc les bases avec aˣ × bˣ = (ab)ˣ. Attention au résultat : bien que g soit croissante, le produit décroît, parce que 0,8 × 1,2 = 0,96 est inférieur à 1.

Chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ⁺, a une expression de la forme k × aˣ avec k > 0. Donne le sens de variation de chacune.
f(x) = 5 × 0,5ˣ · g(x) = 0,5 × 3ˣ · h(x) = 2 × 1,05ˣ · m(x) = 4 × 0,3ˣ

Méthode : Méthode du cours : c'est la BASE a qui décide, pas le coefficient k. On la compare à 1, pas à 0. Attention à h : 1,05 est très proche de 1, mais reste supérieur, la fonction croît donc lentement.

On considère les trois fonctions définies sur ℝ⁺ par f(x) = 3 × 0,7ˣ, g(x) = 3 × 1,2ˣ et h(x) = 1,2ˣ.
a. Que vaut f(0) ?
b. Que vaut g(0) ?
c. Que vaut h(0) ?

Méthode : Méthode du cours : pour toute base a > 0, a⁰ = 1, donc f(0) = k. L'ordonnée à l'origine d'une courbe d'équation y = k × aˣ est donc toujours k. C'est ce qui permet de distinguer g de h, qui ont la même base mais pas le même coefficient.

On considère les fonctions f et g définies sur ℝ⁺ par f(x) = 8 × 0,5ˣ et g(x) = 0,1 × 1,5ˣ.
a. Quel est le sens de variation de f ?
b. Quel est le sens de variation de g ?
c. Calcule f(5) et g(5), arrondis au millième : donne uniquement g(5).

Méthode : Une fonction décroissante et une fonction croissante finissent toujours par se croiser. Le coefficient k, ici 8 contre 0,1, ne fait que retarder le croisement : c'est la BASE qui décide du comportement à long terme.

Le premier numéro d'une revue paraît en 2023 avec 1 000 abonnés. La rédaction estime que le nombre d'abonnés augmentera de 20 % par an. On modélise le nombre d'abonnés par une fonction f définie sur ℝ⁺, où x est le nombre d'années écoulées depuis 2023.
a. Que vaut f(0) ?
b. Quelle est la base a de cette fonction exponentielle ?
c. Donne l'expression de f(x).

Méthode : Méthode du cours : le coefficient k est la valeur de départ, c'est-à-dire f(0). La base a est le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution : une hausse de 20 % donne a = 1,20.

Le nombre de noyaux d'iode 131, en millions, présents dans un échantillon à l'instant t exprimé en jours est donné par N(t) = 5 × 0,917^t.
a. Combien y a-t-il de noyaux au départ, en millions ?
b. Combien en reste-t-il au bout de 4 jours ? Arrondis au millième.
c. Ce phénomène est-il une croissance ou une décroissance exponentielle ?

Méthode : Le coefficient devant la puissance donne la valeur initiale, obtenue pour t = 0. Pour b., utilise la touche puissance de la calculatrice. Le sens de variation se lit sur la base, comparée à 1.

On reprend la revue lancée en 2023 avec 1 000 abonnés. La rédactrice en chef estime qu'il y aura 1 200 abonnés en 2024, et que la progression suivra ensuite le même pourcentage. On modélise par f(x) = k × aˣ, où x est le nombre d'années depuis 2023.
a. Que vaut k ?
b. Calcule (f(1) − f(0)) ÷ f(0). Que représente ce nombre ?
c. Combien d'abonnés peut-on attendre au 1ᵉʳ juillet 2025, c'est-à-dire pour x = 2,5 ? Arrondis à l'unité.

Méthode : Le quotient (f(1) − f(0)) ÷ f(0) est la définition même du taux d'évolution entre les instants 0 et 1. Une fois ce taux connu, la base a est le coefficient multiplicateur correspondant. La question c. illustre l'intérêt du modèle continu : il donne une valeur en cours d'année.