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Résoudre une équation du premier degré
Écris l'équation comme dans ton cahier, avec le signe égal : l'outil déroule chaque étape — réduction, regroupement des x, division — puis vérifie la solution. La méthode et les pièges suivent.
Le plus dur n'est pas de résoudre
C'est de mettre l'énoncé en équation : choisir ce que désigne x, traduire « trois fois plus » et « diminué de », puis rédiger la conclusion en revenant à la question posée. Le coach Mathoo fait travailler cette étape-là, celle qui rapporte le plus de points au brevet.
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Ce qu'est une équation, et ce que résoudre veut dire
Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, noté x. Elle n'est ni vraie ni fausse en soi : elle le devient une fois qu'on remplace x par un nombre. Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie.
Dans 3x + 5 = 14, remplacer x par 2 donne 11 = 14, ce qui est faux ; le remplacer par 3 donne 14 = 14, ce qui est vrai. La solution est donc x = 3, et cette substitution est exactement ce qu'on écrit en vérification.
Le premier degré signifie que x n'apparaît ni au carré ni au dénominateur. Une telle équation a une solution unique, sauf deux cas traités plus bas.
La méthode : garder l'égalité en équilibre
Tout repose sur une seule règle : ce qu'on fait à un membre, on le fait à l'autre. Une balance reste équilibrée si l'on ajoute la même masse des deux côtés.
1. Développer et réduire. S'il y a des parenthèses, on distribue : 2(x + 3) devient 2x + 6. Puis on regroupe ce qui se regroupe dans chaque membre.
2. Rassembler les x d'un côté, les nombres de l'autre. On retranche des deux membres le terme à déplacer. De 2x − 1 = x + 4, on retire x partout : x − 1 = 4 ; puis on ajoute 1 partout : x = 5.
3. Diviser par le coefficient de x. Si l'on arrive à 5x = 4, chaque membre se divise par 5, d'où x = 4/5. Le résultat se laisse en fraction irréductible : c'est la valeur exacte.
4. Vérifier. On remplace x par la valeur trouvée dans l'équation de départ et l'on calcule séparément les deux membres. S'ils sont égaux, la solution est juste.
Trois exemples entièrement résolus
On retire 5 des deux côtés : 3x = 9. On divise par 3 : x = 3. Vérification : 3 × 3 + 5 = 14, l'égalité est vraie.
On retire x partout : x − 1 = 4. On ajoute 1 partout : x = 5. Vérification : à gauche 2 × 5 − 1 = 9, à droite 5 + 4 = 9.
On développe : 2x + 6 = 5x − 6. On retire 2x partout : 6 = 3x − 6. On ajoute 6 partout : 12 = 3x. On divise par 3 : x = 4. Vérification : à gauche 2 × 7 = 14, à droite 20 − 6 = 14.
Les deux cas qui déroutent
Il arrive que les x disparaissent en cours de route. Ce n'est pas une erreur de calcul, et l'équation a bien une réponse — simplement, elle n'est pas un nombre.
Aucune solution. Dans 3x + 1 = 3x + 2, retirer 3x des deux membres laisse 1 = 2, ce qui est faux quelle que soit la valeur de x. L'équation n'admet donc aucune solution.
Une infinité de solutions. Dans 3x + 1 = 3x + 1, la même opération laisse 1 = 1, toujours vrai. N'importe quel nombre convient : l'égalité est ce qu'on appelle une identité.
Le repère : quand les x s'annulent, il reste une égalité entre deux nombres. Vraie, tous conviennent ; fausse, aucun.
Les erreurs les plus fréquentes
N'opérer que d'un seul côté. Retirer 5 à gauche sans le retirer à droite détruit l'égalité. Chaque ligne doit rester équivalente à la précédente.
Oublier de distribuer à tous les termes. 2(x + 3) vaut 2x + 6, jamais 2x + 3. Le facteur multiplie tout ce qui est dans la parenthèse.
Se tromper de signe devant une parenthèse. 5 − (x − 2) vaut 5 − x + 2 : le signe moins change les deux termes.
Multiplier au lieu de diviser à la fin. De 5x = 4 on tire x = 4/5, et non x = 20. Le coefficient de x s'élimine par division.
Arrondir la solution. Si x vaut 4/5, on écrit 4/5, pas 0,8 — sauf si l'énoncé demande une valeur approchée.
Sauter la vérification. Dix secondes, et l'essentiel des erreurs de signe apparaît.
Questions fréquentes
Comment vérifier qu'une solution est juste ?
En remplaçant x par la valeur trouvée dans l'équation de départ, puis en calculant les deux membres séparément. S'ils donnent le même nombre, la solution est correcte.
Que faire quand il y a des x des deux côtés ?
On les rassemble d'un seul côté en retranchant le plus petit des deux coefficients aux deux membres. On choisit en général le côté qui laissera un coefficient positif, plus commode ensuite.
Comment résoudre une équation avec des fractions ?
On peut multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour faire disparaître les fractions, ou continuer en calculant avec elles. Dans x/2 + 1 = 4, multiplier tout par 2 donne x + 2 = 8, donc x = 6.
Une équation peut-elle avoir deux solutions ?
Pas au premier degré : c'est zéro, une, ou une infinité. Deux solutions distinctes apparaissent au second degré, quand x est élevé au carré — programme de première.
Pourquoi les x disparaissent-ils parfois ?
Parce que les deux membres contiennent exactement le même nombre de x. Il ne reste alors qu'une égalité entre deux nombres : vraie, tous les nombres conviennent ; fausse, aucun ne convient.
En quelle classe résout-on des équations ?
La mise en équation débute en cinquième, la résolution du premier degré est au programme de quatrième, et la troisième y ajoute les équations produit nul. Elles servent ensuite dans tous les chapitres.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :