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Calculer le PGCD de deux nombres
Entre deux entiers : l'outil donne leur PGCD et déroule les deux méthodes, division après division puis facteur par facteur. La méthode expliquée, des exemples résolus et les confusions classiques sont juste en dessous.
Le PGCD te résiste ?
Cet outil traite un couple de nombres. Le coach Mathoo, lui, fait travailler la notion en entier : décomposer sans oublier de facteur, mener une division euclidienne jusqu'au bout, et surtout reconnaître les problèmes de brevet où c'est un PGCD qu'on demande sans jamais prononcer le mot.
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Ce que le PGCD veut dire
Un diviseur d'un nombre le divise sans laisser de reste : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont les diviseurs de 12. Entre deux nombres, certains diviseurs figurent dans les deux listes — ce sont leurs diviseurs communs. Le plus grand est le PGCD, pour « plus grand commun diviseur ».
Il en existe toujours un, puisque 1 divise n'importe quel entier. Entre 60 et 36, les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, d'où PGCD(60 ; 36) = 12.
Énumérer tient jusqu'à une dizaine, puis devient impraticable : personne n'écrit la liste des diviseurs de 1071. D'où les deux procédés du programme de troisième, qui répondent sans énumérer.
Les deux méthodes du programme
L'algorithme d'Euclide
On divise le plus grand nombre par le plus petit et on retient le reste, puis on recommence en divisant chaque fois le diviseur par ce reste, jusqu'à en obtenir un nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
La justification : un nombre qui divise le dividende et le diviseur divise aussi le reste, et réciproquement — les diviseurs communs passent intacts d'une ligne à la suivante. C'est la méthode la plus rapide, et la seule qui tienne sur de grands nombres.
La décomposition en facteurs premiers
On écrit chaque nombre comme un produit de nombres premiers : 60 = 2² × 3 × 5 et 36 = 2² × 3². On garde les facteurs présents des deux côtés, chacun avec son plus petit exposant : 2² × 3 = 12.
Plus lente, elle est plus parlante : on voit ce que les deux nombres ont matériellement en commun. Et la même décomposition livre le PPCM, en gardant cette fois le plus grand exposant.
Trois exemples entièrement résolus
Euclide : 60 = 1 × 36 + 24, puis 36 = 1 × 24 + 12, puis 24 = 2 × 12 + 0 ; le dernier reste non nul est 12.
Facteurs premiers : 60 = 2² × 3 × 5 et 36 = 2² × 3², donc 2² × 3 = 12. Même réponse.
1071 = 2 × 462 + 147, puis 462 = 3 × 147 + 21, puis 147 = 7 × 21 + 0 : trois divisions, et le PGCD vaut 21. Décomposer 1071 aurait demandé de tester 2, 3, 5, 7, 11, 13… avant d'aboutir.
35 = 5 × 7 et 24 = 2³ × 3 : pas un facteur en commun, le PGCD vaut 1 et les deux nombres sont premiers entre eux — sans qu'aucun des deux ne soit premier. Répondre 1 est juste, ce n'est pas un échec du calcul.
Les confusions les plus fréquentes
Confondre PGCD et PPCM. La première erreur, de loin. Le PGCD est plus petit que les deux nombres et sert à les diviser ; le PPCM est plus grand et sert à trouver un dénominateur commun. Un PGCD supérieur à l'un des deux nombres est forcément faux.
Répondre 0 au lieu du dernier reste non nul. L'algorithme s'arrête sur un reste nul, mais la réponse est la ligne d'avant : le zéro signale la fin du calcul, il n'en est pas le résultat.
Se tromper de facteurs. Avec 60 = 2² × 3 × 5 et 36 = 2² × 3², écrire 2² × 3² × 5 donne 180, qui est le PPCM. Seuls comptent les facteurs présents des deux côtés, chacun à l'exposant le plus petit.
Croire qu'un PGCD de 1 est une erreur. C'est le cas le plus courant, pas une anomalie.
À quoi le PGCD sert vraiment
Deux usages reviennent en contrôle. Le premier : rendre une fraction irréductible en une division, plutôt que par tâtonnements.
Le second, typique du brevet : répartir en paquets identiques sans rien laisser. « Faire des lots avec 60 stylos et 36 gommes, tous identiques, en utilisant tout » — le nombre maximal de lots est PGCD(60 ; 36) = 12, chaque lot recevant 5 stylos et 3 gommes. Le mot « PGCD » n'y est jamais prononcé : ce sont identiques, sans reste et le plus possible qui le désignent.
Questions fréquentes
Comment note-t-on le PGCD de deux nombres ?
PGCD(a ; b), avec un point-virgule à la française. On rencontre aussi pgcd(a, b), et la notation a ∧ b après le lycée.
Quelle méthode faut-il utiliser en contrôle ?
Celle qu'impose l'énoncé s'il en impose une. Sinon : Euclide au-delà de la centaine, les facteurs premiers pour de petits nombres ou si le PPCM est demandé ensuite. Sans calcul apparent, pas de points.
Comment calculer le PGCD de trois nombres ?
En deux temps : le PGCD des deux premiers, puis celui du résultat avec le troisième. Pour 60, 36 et 48 : PGCD(60 ; 36) = 12, puis PGCD(12 ; 48) = 12. L'ordre est indifférent.
Que signifie « premiers entre eux » ?
Que le PGCD vaut 1 : aucun nombre sauf 1 ne divise les deux. Attention au vocabulaire — 35 et 24 sont premiers entre eux alors qu'aucun des deux n'est premier. C'est une propriété du couple, pas de chaque nombre.
Peut-on calculer un PGCD avec 0 ou avec un nombre négatif ?
Oui dans les deux cas : tout entier divise 0, donc PGCD(0 ; 12) = 12, et les signes ne comptent pas, PGCD(-60 ; 36) = 12. Seul PGCD(0 ; 0) n'a pas de sens, faute d'un plus grand diviseur.
En quelle classe apprend-on le PGCD ?
En troisième, au chapitre des nombres premiers, et il tombe régulièrement au brevet. Les diviseurs sont vus dès la cinquième ; la notion revient en seconde.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :