Solides : pavé, prisme et cylindre : 12 exercices corrigés de 5e

Indique le nom de chacun des solides suivants :
a. Un solide avec un sommet (apex) et une base circulaire.
b. Un solide sans sommet ni arête, parfaitement rond.
c. Un solide avec deux bases circulaires parallèles et égales.
d. Un solide avec une base carrée et quatre faces triangulaires.
e. Un solide avec six faces rectangulaires.
f. Un solide avec six faces carrées égales.
g. Un solide avec deux bases triangulaires et trois faces rectangulaires.

Méthode : Cône = 1 sommet + base circulaire. Boule = aucun sommet ni arête. Cylindre = 2 bases circulaires. Cube = pavé droit avec 6 faces carrées.

Pour chaque solide, donne son nombre de sommets, de faces et d'arêtes :
a. prisme droit à base triangulaire
b. cube
c. pyramide à base carrée
d. pavé droit

Méthode : Prisme triangulaire : 2 bases × 3 sommets = 6 sommets ; 2 bases + 3 côtés = 5 faces ; 3 arêtes de base × 2 + 3 arêtes latérales = 9.

Pour chacun des quatre polyèdres (prisme triangulaire, cube, pyramide carrée, pavé droit) :
a. Calcule la somme F + S (nombre de Faces + nombre de Sommets).
b. Compare F + S avec le nombre d'arêtes A. Quelle relation y a-t-il ?
(Ce résultat est dû à Leonhard Euler, 1707-1783)

Méthode : Complète le tableau de l'exercice précédent, puis cherche la relation.

La maison est un prisme droit à base pentagonale EHKAD.
Le pignon a pour dimensions : EH = AD = 2 m (murs), HK = KA = 2,5 m (pentes du toit), DE = 3,5 m (largeur).
Calcule le périmètre de la base pentagonale.

Méthode : Le périmètre = somme des longueurs des 5 côtés du pentagone.

Pour le prisme droit ABCDEF (bases triangulaires ABC et DEF), ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
1. Les faces ABC et DEF sont parallèles.
2. Les arêtes [AC] et [DF] sont parallèles.
3. Les arêtes [CF] et [AB] sont sécantes.
4. F appartient à la face ABED.
5. La face CBEF est un rectangle.

Méthode : Dans un prisme droit : les arêtes latérales sont toutes parallèles et perpendiculaires aux bases.

En regardant la représentation en perspective cavalière d'un pavé droit ABCDEFGH :
Nina dit : «L'angle DAB est obtus.»
Fadi répond : «Non, l'angle DAB est droit.»
Commente ces affirmations.

Méthode : La perspective cavalière déforme les angles : un angle droit peut paraître obtus.

Voici un prisme droit dont la base ABC est un triangle rectangle en A (AB = 3 cm, AC = 4 cm). La profondeur du prisme est 4 cm.
b. Quelle est la forme de la face avant de ce prisme ?
c. Quelle longueur doit-on reporter au compas pour construire la face avant de ce prisme ?

Méthode : La face avant est une face latérale du prisme droit — c'est un rectangle.

ABCDEFGH est un pavé droit. On le coupe pour obtenir le prisme droit AEIBFJ, où I est sur l'arête EH et J est sur l'arête AD. On donne : AE = 4,3 cm ; EI = 2,5 cm ; EF = 3,2 cm.
a. Nomme les bases de ce prisme droit.
b. Quelle est leur nature ?

Méthode : Dans un pavé droit, deux arêtes perpendiculaires à une même face sont perpendiculaires entre elles.

Le patron d'un cylindre de révolution est formé de deux disques et d'un rectangle dont la longueur = circonférence de la base (2πr = πd). Pour chaque ligne, calcule les deux valeurs manquantes (arrondis au dixième si nécessaire) :
a. Rayon = 4 cm → diamètre et longueur du rectangle ?
b. Diamètre = 6,2 cm → rayon et longueur du rectangle ?
c. Longueur du rectangle = 12,58 cm → rayon et diamètre ?

Méthode : Longueur du rectangle = circonférence = 2πr = πd. Si L est donnée : r = L/(2π).

Voici la représentation en perspective cavalière d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm. Les points A et C sont aux extrémités d'un diamètre de la base gauche ; L est le point correspondant à A sur la base droite ; E et F sont sur la base droite.
b. Quelle est la longueur de [AC] ?
c. Quelle est la longueur de [EF] ?
d. Quelle est la longueur de [AL] ?
e. Quelle est la nature du triangle LAC ?

Méthode : [AC] est un diamètre de la base ; [AL] est la hauteur du cylindre, perpendiculaire à la base.

Pour faire un pot à crayons, on recouvre une boite cylindrique (hauteur 11 cm, diamètre 7 cm) avec du papier.
a. Quelle est la forme du morceau de papier utilisé ?
b. Quelles sont ses dimensions ?

Méthode : En déroulant le cylindre, la surface latérale forme un rectangle : hauteur = h du cylindre, longueur = circonférence = πd.

Un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 4,5 cm est représenté en perspective cavalière. Son patron est tracé à main levée.
Indique sur le patron toutes les dimensions correspondantes :
− Que représente la longueur du rectangle ?
− Que représente la hauteur du rectangle ?
− Quelles sont les mesures des deux disques ?

Méthode : La longueur du rectangle du patron = le pourtour du disque = 2πr. Les disques du patron ont le même rayon que le cylindre.