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Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Deux droites sécantes en A, coupées par deux parallèles : entre les longueurs connues et laisse vide celle que tu cherches. L'outil pose l'égalité des rapports, puis déroule le produit en croix.
Le calcul est simple, la figure l'est moins
Reconnaître la configuration au milieu d'une figure chargée, nommer les points dans le bon ordre, écrire les hypothèses avant la conclusion : voilà ce qui rapporte les points au brevet. Le coach Mathoo fait travailler des figures entières, pas seulement le produit en croix final.
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La configuration, avant toute chose
Le théorème s'applique dans une situation précise : deux droites qui se coupent en un point A, et deux droites parallèles qui les coupent chacune. On obtient ainsi deux triangles emboîtés, l'un petit et l'autre grand, qui partagent le sommet A.
En nommant M et B les points de la première droite, N et C ceux de la seconde, le théorème affirme que les longueurs issues de A sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Deux dispositions existent. Dans la configuration dite « en triangle », les petits points sont entre A et les grands. Dans celle dite « en papillon », les deux parallèles encadrent A et les triangles se font face. Le théorème est le même ; seule la figure change d'allure.
Le parallélisme est une hypothèse, jamais une conclusion. Sans lui, l'égalité est fausse — et l'énoncé doit le donner, ou le faire démontrer.
Écrire l'égalité sans se tromper
C'est ici que tout se joue. La règle : chaque rapport compare deux longueurs d'une même droite, et l'on garde le même ordre dans les deux fractions — petit sur grand des deux côtés.
Une méthode sûre consiste à écrire d'abord les lettres, sans les nombres : AM/AB pour la première droite, AN/AC pour la seconde. On vérifie que A figure au numérateur et au dénominateur de chaque rapport, puis seulement on remplace par les longueurs.
Le troisième rapport, MN/BC, compare les deux parallèles entre elles. Il sert quand c'est une de ces longueurs qu'on cherche — et il ne s'obtient pas autrement, car MN et BC n'appartiennent à aucune des deux droites sécantes.
Une fois l'égalité posée, le calcul est un simple produit en croix : de AM/AB = AN/AC on tire AM × AC = AB × AN, puis on isole l'inconnue par une division.
Deux exemples entièrement résolus
AM = 3, AB = 5, AC = 10, et (MN) est parallèle à (BC). L'égalité donne 3/5 = AN/10. Le produit en croix : 3 × 10 = 5 × AN, soit 30 = 5 × AN, donc AN = 6.
Contrôle immédiat : le rapport vaut 3/5 = 0,6, et 6/10 = 0,6 également.
Pour mesurer un arbre, on place un bâton de 1,5 m dont l'ombre mesure 2 m ; l'ombre de l'arbre mesure 12 m. Les rayons du soleil jouent le rôle des parallèles, d'où 1,5/2 = h/12. Le produit en croix donne 1,5 × 12 = 2 × h, soit 18 = 2h et h = 9 m.
AM = 3, AB = 5, AN = 6, AC = 10 : les rapports valent 3/5 = 0,6 et 6/10 = 0,6. Ils sont égaux et les points sont dans le même ordre sur les deux droites, donc (MN) et (BC) sont parallèles. Avec AC = 11, le second rapport vaudrait 0,545 : les droites ne le seraient pas.
La réciproque : démontrer un parallélisme
Quand les quatre longueurs sont connues, la question s'inverse : les droites sont-elles parallèles ? C'est la réciproque du théorème, et elle demande une rédaction stricte.
On calcule les deux rapports séparément, puis on les compare. S'ils sont égaux — et si les points sont dans le même ordre sur les deux droites — on conclut au parallélisme. S'ils diffèrent, les droites ne sont pas parallèles.
La condition d'ordre n'est pas un détail : elle écarte le cas où l'un des points serait du mauvais côté de A. L'énoncé précise généralement l'alignement, et il faut le citer dans la rédaction.
Les erreurs les plus fréquentes
Mélanger les deux droites. Écrire AM/AC au lieu de AM/AB compare des longueurs qui n'ont rien à voir. Chaque fraction reste sur sa droite.
Inverser petit et grand. Si le premier rapport s'écrit petit sur grand, le second aussi. Un rapport supérieur à 1 face à un rapport inférieur à 1 signale l'inversion.
Utiliser MN/BC comme les autres. Ce rapport compare les parallèles ; il ne peut pas remplacer un rapport de la même droite.
Oublier de citer le parallélisme. Sans cette hypothèse écrite, la démonstration est incomplète, même si le calcul est juste.
Confondre théorème et réciproque. Le premier calcule une longueur dans une figure où le parallélisme est donné ; la seconde démontre ce parallélisme à partir des longueurs.
Questions fréquentes
Dans quel ordre écrire les longueurs de chaque rapport ?
Toujours le même de part et d'autre : petit segment sur grand segment, ou l'inverse, mais identique pour les deux droites. Chaque rapport doit contenir le point A en haut comme en bas.
À quoi sert le troisième rapport MN/BC ?
À calculer la longueur d'une des deux parallèles. Elles n'appartiennent à aucune des droites sécantes : aucun autre rapport ne permet de les atteindre.
Que change la configuration « papillon » ?
Rien au calcul : l'égalité des rapports est la même. Seule la figure diffère, les deux triangles se faisant face de part et d'autre de A au lieu d'être emboîtés.
Peut-on appliquer Thalès sans droites parallèles ?
Non, jamais. Le parallélisme est l'hypothèse qui fait fonctionner le théorème ; sans lui, les rapports n'ont aucune raison d'être égaux et la démarche entière est invalide.
Quel est le lien avec les agrandissements et réductions ?
Le rapport commun est exactement le coefficient de réduction qui fait passer du grand triangle au petit. Les deux triangles ont les mêmes angles : ils sont semblables.
En quelle classe apprend-on le théorème de Thalès ?
En quatrième dans la configuration en triangle, puis en troisième avec la configuration papillon et la réciproque. Il tombe très régulièrement au brevet, souvent associé à Pythagore.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :