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Calculer le volume d'un solide
Choisis ton solide et entre ses dimensions : l'outil pose la formule, la remplit, donne le volume — et sa capacité en litres, que les énoncés demandent presque toujours en seconde question.
Trois dimensions, trois occasions de se tromper
Un énoncé de volume mélange volontiers les unités : une longueur en mètres, une profondeur en centimètres, une réponse attendue en litres. La formule est la partie facile ; c'est la conversion qui fait perdre les points. Le coach Mathoo reprend ces enchaînements avec l'élève, étape par étape.
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Volume et contenance : un seul nombre, deux façons de le dire
Le volume mesure la place occupée dans l'espace, en unités cubes : cm³, dm³, m³. La contenance mesure ce qu'un récipient peut recevoir, en litres. Ce sont deux lectures du même nombre, reliées par une seule égalité à connaître : 1 dm³ = 1 L.
Tout en découle. Un litre est le contenu d'un cube de 10 cm d'arête, soit 1 000 cm³ : d'où 1 cm³ = 1 mL, et 1 m³ = 1 000 L. Un aquarium de 40 cm sur 25 cm sur 30 cm fait 30 000 cm³, c'est-à-dire 30 litres.
Retenir le cube de 10 cm dispense d'apprendre le reste : il suffit de diviser des cm³ par 1 000 pour obtenir des litres.
Les six formules, solide par solide
Pavé droit et cube
V = longueur × largeur × hauteur, et pour le cube arête³. Ce sont les deux seuls solides dont le volume s'obtient en multipliant directement trois mesures.
Cylindre
V = π × r² × h. Un cylindre est une pile de disques : on calcule l'aire d'un disque, on la multiplie par la hauteur. Le prisme droit suit la même logique, avec l'aire de sa base propre.
Cône et pyramide
Le cône vaut π × r² × h ÷ 3, la pyramide aire de la base × hauteur ÷ 3. Le tiers n'est pas une convention : trois cônes remplis d'eau versés dans le cylindre de même base et de même hauteur le remplissent exactement.
Boule
V = 4/3 × π × r³. Aucun découpage simple ne la justifie au collège ; elle s'apprend telle quelle. Le rayon y est au cube, ce qui rend le résultat très sensible : doubler le rayon multiplie le volume par huit.
Convertir les volumes sans se tromper
Une longueur change d'unité de 10 en 10, une aire de 100 en 100, un volume de 1 000 en 1 000. La raison tient au nombre de dimensions : un mètre vaut 10 décimètres, donc un mètre cube vaut 10 × 10 × 10 décimètres cubes.
D'où les repères utiles : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L, et 1 cm³ = 1 mL. Une bouteille d'un litre et demi contient 1 500 cm³.
Le piège le plus courant est de convertir à la fin. Si l'énoncé donne une longueur en mètres et une hauteur en centimètres, il faut tout ramener à la même unité avant de multiplier — sinon le résultat ne correspond à aucune unité connue.
Trois calculs entièrement rédigés
V = 40 × 25 × 30 = 30 000 cm³. En litres : 30 000 ÷ 1 000 = 30 L. On le remplit rarement à ras bord : à 5 cm du bord, la hauteur d'eau est de 25 cm, ce qui donne 25 L.
Aire du disque : π × 5² = 25π cm². Volume : 25π × 10 = 250π cm³, soit environ 785,4 cm³ — un peu moins de 0,8 L.
π × 3² = 9π cm² pour la base, puis 9π × 7 ÷ 3 = 21π cm³, environ 66 cm³. Oublier la division par trois donnerait 63π, soit le volume du cylindre qui l'enveloppe.
Les erreurs qui reviennent le plus souvent
Oublier le tiers. Cône et pyramide le réclament tous les deux ; sans lui, on annonce le volume du cylindre ou du prisme correspondant.
Prendre le diamètre pour le rayon. Comme le rayon est au carré, l'erreur multiplie le volume par quatre pour un cylindre, par huit pour une boule.
Diviser par 100 pour passer en litres. Le facteur est 1 000, puisqu'un litre occupe un cube de 10 cm de côté.
Confondre hauteur et longueur d'arête latérale. Dans un cône ou une pyramide, la hauteur descend du sommet perpendiculairement à la base ; l'arête qui rejoint un coin est plus longue.
Répondre en cm² au lieu de cm³. Trois longueurs multipliées donnent une unité au cube ; le petit 3 fait partie de la réponse.
Questions fréquentes
Combien de litres dans un mètre cube ?
Mille. Un mètre cube contient 1 000 décimètres cubes, et chaque décimètre cube vaut un litre. Une citerne de 2 m³ contient donc 2 000 L.
Comment calculer le volume d'un prisme droit ?
On multiplie l'aire de sa base par sa hauteur, quelle que soit la forme de cette base — triangle, trapèze, hexagone. Le cylindre est le cas particulier où la base est un disque.
Que devient le volume si l'on double toutes les dimensions ?
Il est multiplié par huit, pas par deux : chacune des trois dimensions double, et 2 × 2 × 2 = 8. C'est pour cette raison qu'un modèle réduit à l'échelle 1/2 ne pèse qu'un huitième de l'original.
Comment retrouver la hauteur à partir du volume ?
On divise le volume par l'aire de la base. Pour un cylindre de 250π cm³ et de rayon 5 cm, la base vaut 25π cm², donc la hauteur est de 250π ÷ 25π = 10 cm.
Faut-il garder π ou donner une valeur approchée ?
L'énoncé le précise le plus souvent. Sans consigne, on écrit la valeur exacte avec π, puis l'arrondi précédé du signe ≈. Arrondir dès la première ligne fausse toutes les suivantes.
En quelle classe apprend-on ces formules ?
Le pavé et le cube en sixième, le prisme et le cylindre en cinquième, la pyramide et le cône en quatrième, la boule en troisième.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :