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Calculer l'aire et le périmètre d'un cercle
Entre le rayon ou le diamètre, l'autre se déduit : l'outil donne le périmètre et l'aire, d'abord en valeur exacte avec π, puis arrondis. Les deux formules et le piège classique sont expliqués juste après.
Un cercle seul, ça n'existe qu'ici
En contrôle, il est toujours pris dans autre chose : un demi-disque posé sur un rectangle, un anneau entre deux cercles, une piste d'athlétisme. Il faut alors décomposer la figure et choisir quelles portions compter. C'est ce que le coach Mathoo fait travailler.
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Rayon, diamètre et le nombre π
Le rayon va du centre au bord ; le diamètre traverse le cercle de part en part en passant par le centre. Le second vaut toujours le double du premier, ce qui permet de passer de l'un à l'autre sans calcul.
Le nombre π vient d'une observation valable pour tous les cercles, du bouchon de bouteille à la piste d'athlétisme : en divisant le tour par le diamètre, on tombe toujours sur le même nombre, environ 3,14. Ce rapport constant est π.
Ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas : π ne s'écrit ni en fraction, ni en décimal exact. On le garde donc tel quel — 12π est plus juste que 37,7.
Les deux formules, et laquelle utiliser
Le périmètre : P = 2 × π × r
C'est la longueur du tour, celle qu'on mesurerait avec une ficelle. Comme le diamètre vaut 2r, la formule s'écrit aussi P = π × d : les deux sont équivalentes, et l'on choisit celle qui correspond à la donnée de l'énoncé.
L'aire : A = π × r²
C'est la surface du disque, ce qu'il faudrait de peinture pour le remplir. Ici le rayon est obligatoire : utiliser le diamètre donnerait un résultat quatre fois trop grand, puisque c'est le carré qui intervient.
Comment ne pas les confondre
Le repère le plus fiable est l'unité. Un périmètre est une longueur, mesurée en cm ou en m ; une aire est une surface, mesurée en cm² ou en m². Le carré présent dans l'unité se retrouve dans la formule — celle qui contient r² est celle de l'aire.
Second repère : le cercle est le trait, le disque la surface qu'il entoure. D'où le périmètre d'un cercle, et l'aire d'un disque.
Trois exemples entièrement résolus
Périmètre : P = 2 × π × 6 = 12π cm, soit environ 37,7 cm. Aire : A = π × 6² = π × 36 = 36π cm², soit environ 113,1 cm². Les valeurs exactes s'écrivent en premier, les arrondis avec le signe ≈.
On commence par le rayon : 10 ÷ 2 = 5 m. Périmètre : P = π × 10 = 10π m ≈ 31,4 m. Aire : A = π × 5² = 25π m² ≈ 78,5 m². Prendre 10 dans la formule de l'aire aurait donné 100π, soit quatre fois trop.
Un cercle a un périmètre de 31,4 cm : quel est son rayon ? On remonte la formule, r = P ÷ (2π) = 31,4 ÷ 6,28 ≈ 5 cm. Le même raisonnement vaut pour l'aire, en prenant cette fois la racine carrée.
Valeur exacte ou valeur approchée
Un résultat contenant π est une valeur exacte : 36π cm² est le nombre lui-même, sans la moindre perte. Dès qu'on remplace π par 3,14, on obtient une valeur approchée, et l'égalité devient fausse.
D'où la règle de rédaction : on écrit A = 36π cm², puis A ≈ 113,1 cm². Le signe ≈ n'est pas une coquetterie, il signale que le nombre a été arrondi — et les barèmes le sanctionnent.
Quand donner l'un ou l'autre ? L'énoncé le dit presque toujours : « donner la valeur exacte » réclame la forme avec π, « arrondir au dixième » réclame le décimal. En l'absence de consigne, on donne les deux.
Les erreurs les plus fréquentes
Utiliser le diamètre dans la formule de l'aire. L'erreur la plus coûteuse : elle multiplie le résultat par quatre. L'aire réclame le rayon.
Oublier le carré. π × 6 vaut 18,8 et non 113,1 : sans le carré, on calcule une longueur là où l'on attend une surface.
Multiplier le rayon par 2 dans l'aire. A = π × r², pas 2 × π × r² — ce dernier calcul ne correspond à rien.
Mettre une aire en cm. Une surface s'exprime toujours avec une unité au carré. L'unité fausse coûte des points même quand le nombre est juste.
Écrire un arrondi avec un signe égal. P = 37,7 cm est faux ; P ≈ 37,7 cm est juste.
Arrondir en cours de calcul. Prendre 3,14 dès la première ligne propage l'erreur. On garde π jusqu'au bout, et l'on arrondit une seule fois, à la fin.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un cercle et un disque ?
Le cercle est la ligne courbe, le disque est la surface qu'elle délimite. On calcule donc le périmètre d'un cercle et l'aire d'un disque, même si l'usage courant confond les deux mots.
Comment retrouver le rayon quand on connaît le périmètre ?
En divisant par 2π : r = P ÷ (2 × π). Pour un périmètre de 31,4 cm, cela donne 31,4 ÷ 6,28 ≈ 5 cm. Depuis l'aire, il faudrait diviser par π puis prendre la racine carrée.
Quelle valeur de π faut-il prendre en contrôle ?
Celle de la calculatrice, qui en garde une dizaine de décimales. On n'utilise 3,14 que si l'énoncé l'impose, et l'on n'arrondit qu'au dernier moment pour éviter d'accumuler les écarts.
Comment calculer l'aire d'un demi-disque ?
On calcule l'aire du disque entier, puis on divise par deux. Attention au périmètre : celui d'un demi-disque comprend le demi-cercle et le diamètre qui le referme.
Pourquoi π ne s'écrit-il pas exactement en décimal ?
Parce que c'est un nombre irrationnel : ses décimales sont infinies et sans motif qui se répète. Aucune fraction ne le donne exactement, 22/7 n'en étant qu'une approximation commode.
En quelle classe apprend-on ces formules ?
Le périmètre du cercle est vu en sixième, l'aire du disque en cinquième. Les deux resservent ensuite pour les volumes du cylindre, du cône et de la sphère.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :
Les outils qui vont avec
- Aire et périmètre des figures à côtés droitsRectangle, triangle, trapèze, losange — celles qui se passent de π.
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