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Calculer le PPCM de deux nombres
Entre deux entiers : l'outil donne leur PPCM et montre les trois méthodes — les multiples listés, les facteurs premiers, le passage par le PGCD. La distinction avec le PGCD est expliquée juste en dessous.
Reconnaître qu'on cherche un PPCM
Un énoncé ne demande jamais « le PPCM » : il parle de deux clignotants qui s'allument ensemble, de bus qui repartent en même temps, de carreaux carrés posés sur un rectangle. Savoir que ces situations-là appellent un multiple commun, c'est ce que le coach Mathoo fait travailler.
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Multiple commun : de quoi parle-t-on
Les multiples d'un nombre sont les résultats de sa table : 12, 24, 36, 48… pour 12. La liste ne s'arrête jamais. En superposant les tables de deux nombres, on trouve des valeurs présentes dans les deux — les multiples communs — et le plus petit d'entre eux, hors zéro, s'appelle le PPCM.
Zéro est écarté par convention : il figure dans toutes les tables et serait toujours la réponse, ce qui n'apprendrait rien. On cherche donc le plus petit multiple commun strictement positif.
Contrairement aux diviseurs, les multiples communs sont en nombre infini : une fois le PPCM trouvé, tous ses propres multiples en sont aussi. Pour 12 et 18, ce sont 36, puis 72, 108, et ainsi de suite sans fin.
Trois façons de le trouver
Écrire les deux tables
On aligne les multiples de chacun et l'on s'arrête au premier nombre qui apparaît des deux côtés. Pour 4 et 6 : 4, 8, 12 d'un côté, 6, 12 de l'autre — c'est 12. Lente sur de grands nombres, cette méthode a le mérite de montrer ce qu'on cherche.
Passer par les facteurs premiers
On décompose : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². On garde alors tous les facteurs rencontrés, chacun affecté de son plus grand exposant : 2² × 3² = 36. Prendre les plus petits exposants donnerait autre chose — justement le PGCD.
Diviser le produit par le PGCD
Le chemin le plus rapide repose sur une propriété remarquable : le produit de deux nombres est toujours égal au produit de leur PGCD par leur PPCM. Pour 12 et 18, le produit vaut 216 et le PGCD 6, donc le PPCM vaut 216 ÷ 6 = 36. Deux opérations suffisent, quelle que soit la taille des nombres.
Trois exemples entièrement résolus
Multiples de 12 : 12 ; 24 ; 36. Multiples de 18 : 18 ; 36. Le premier nombre commun est 36. Par le produit : 216 ÷ 6 = 36 — même réponse.
24 figure déjà dans la table de 8 : il est lui-même multiple commun, et aucun plus petit ne convient. Le PPCM vaut donc 24, sans le moindre calcul. Ce cas est fréquent avec les dénominateurs de fractions.
6 = 2 × 3 et 35 = 5 × 7 : aucun facteur en commun, les deux nombres sont premiers entre eux. Le PPCM est alors leur produit, 210. C'est la valeur la plus grande possible pour ces deux nombres.
PPCM ou PGCD : lequel l'énoncé demande-t-il ?
La confusion est permanente, parce que les deux notions se calculent avec les mêmes outils. Le repère le plus fiable n'est pas le vocabulaire mathématique mais la taille du résultat : le PPCM est toujours supérieur ou égal au plus grand des deux nombres, tandis que l'autre est inférieur ou égal au plus petit.
Le second repère tient au verbe de l'énoncé. On cherche un multiple commun quand quelque chose se répète et doit coïncider : deux bus qui partent toutes les 12 et 18 minutes se retrouveront au bout de 36 minutes. On cherche un diviseur commun quand il faut au contraire partager sans reste.
Troisième repère, utile en fractions : mettre au même dénominateur réclame un multiple commun des dénominateurs. Simplifier une fraction, à l'inverse, réclame un diviseur commun.
Les erreurs les plus fréquentes
Prendre le plus petit exposant. Avec 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3², écrire 2 × 3 = 6 donne le PGCD. Le PPCM réclame les plus grands exposants et tous les facteurs.
Oublier un facteur présent d'un seul côté. Il entre quand même dans le PPCM : un multiple de 35 doit contenir le 5 et le 7, même si 6 ne les possède pas.
Multiplier systématiquement les deux nombres. Cela donne bien un multiple commun, mais pas toujours le plus petit : 12 × 18 = 216, alors que 36 suffit. Ce raccourci n'est exact que pour des nombres premiers entre eux.
Répondre 0. Zéro est multiple de tout, et c'est précisément pourquoi il est exclu.
Confondre avec le PGCD. Un résultat plus petit que les deux nombres de départ signale l'erreur immédiatement.
Questions fréquentes
Comment note-t-on le PPCM ?
PPCM(a ; b), à la française, parfois ppcm(a, b). L'ordre des deux nombres est sans importance, et certains manuels emploient la notation a ∨ b au lycée.
À quoi sert le PPCM dans les fractions ?
Il fournit le plus petit dénominateur commun. Pour additionner des sixièmes et des quinzièmes, on passe en trentièmes, puisque 30 est le PPCM de 6 et 15 — ce qui évite de manipuler 90.
Que vaut le PPCM de deux nombres premiers entre eux ?
Leur produit, tout simplement : n'ayant aucun facteur en commun, le plus petit multiple partagé les contient tous les deux entièrement. Pour 6 et 35, c'est 210.
Comment calculer le PPCM de trois nombres ?
Deux par deux : on calcule celui des deux premiers, puis celui du résultat avec le troisième. Pour 4, 6 et 10 : PPCM(4 ; 6) = 12, puis PPCM(12 ; 10) = 60.
Le PPCM peut-il être égal à l'un des deux nombres ?
Oui, dès que l'un est multiple de l'autre : PPCM(8 ; 24) vaut 24. C'est le cas le plus favorable, puisqu'une seule fraction est alors à transformer.
En quelle classe apprend-on le PPCM ?
Les multiples sont vus dès la sixième, et la mise au même dénominateur en cinquième et quatrième. Le PPCM est nommé et calculé en troisième, aux côtés de la décomposition en facteurs premiers.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :